向量组等价的充要条件_等价向量组的基本定义？

a∥b的充要条件可以是a=λb (b≠0)，也可以是a=λb。

主要考虑到规定b≠0，可建立实数λ和向量a之间的一一对应，即存在且仅存在唯一的实数λ，使a=λb。否则，实数λ和向量a并不一一对应，即b=0且a=0而λ取任意实数，都有a=λb 。建立实数λ和向量a之间的一一对应，也就是将一个非零向量（也就是b）与其他任一向量（也就是a）之间的平行关系等价于唯一实数λ的存在性。

知识点:向量组A,B等价的充要条件是 r(A)=r(A,B)=r(B).因为 A组可由B组线性表示,所以 r(B,A) = r(B)因为 r(A)=r(B),所以 r(A)=r(A,B)=r(B)所以两个向量组等价

只需证明：①两个向量组的秩相等。（可以用初等变换计算“矩阵”的秩而得）②有一个向量组，它的每一个向量都可以用另一个向量组的向量线性表示。

向量组等价，则秩相等反之则不成立，例如A的行向量都是(1,0,0)，B的行向量都是(0,1,0)A,B秩都是1，但不等价

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…Bn的等价秩相等条件是 R（A）=R（B）=R（A，B）， 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义） 或者说：两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。注： 1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。2、任一向量组和它的极大无关组等价。3、向量组的任意两个极大无关组等价。4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。6、如果向量组A可由向量组B线性表出，且R（A）=R（B），则A与B等价。

区别： 矩阵等价的前提是同型，同型时, 等价的充要条件是秩相同。它是在同型的条件下考虑的 向量组等价的充要条件是 R(A)=R(A,B)=R(B)。

1.等价向量组： 等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。 等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。 如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

2.等价矩阵： 矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。 如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。 如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。

首先，（A,B）表示矩阵A写在左边矩阵B写在右边，（B,A）表示矩阵B写在左边矩阵A写在右边。

其次，虽然行中数值顺序有变化，但是这个矩阵的每一列的数值从上至下顺序未变。最后，用初等列变换求矩阵的秩，可以改变每一列的顺序，矩阵的秩不变。综上可知，R(A,B)=R(B,A)

矩阵等价充要条件：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。 向量组等价充要条件：两个向量组可以互相线性表示。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B）。