矩阵可逆的五个充要条件_n阶矩阵A可逆的充要条件有哪些？

A可逆的充要条件:

1、|A|不等于0。

2、r（A）=n。

3、A的列（行）向量组线性无关。

4、A的特征值中没有0。

5、A可以分解为若干初等矩阵的乘积。 矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

成立。

1、先证可逆矩阵一定可以写成矩阵的乘积,因为A=A*E,所以一定可以写成矩阵乘积的形式。

2、再证,如果A=BC,那么B,C都可逆.因为|A|=|BC|=|B||C|,A可逆。

3、所以|A|≠0,所以|B|,|C|均不为0,所以都可逆.。依据：1、可逆矩阵一定是方阵。2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。扩展资料：可逆矩阵定义：一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得则称B是A的一个逆矩阵，A的逆矩阵记作A-1。如何证明逆矩阵的唯一性：证明：若B,C都是A的逆矩阵，所以B=C，即A的逆矩阵是唯一的。矩阵可逆充要条件：1、矩阵可逆的充分必要条件。2、AB=E。3、A为满秩矩阵（即r(A)=n）。

4、A的特征值全不为0。

5、A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

充分性：因为P、Q可逆，所以 P,Q可以分解成若干个基本初等矩阵的积，所以A~B

必要性：因为A~B,所以A经过若干次初等行列变换后成为B，即PAQ=B，（P、Q可逆）

方阵A可逆的充分必要条件有以下：①|A|≠0。并且当A可逆时，有A^-1=A*/|A|。（A*是A的伴随矩阵，A^-1是A的逆矩阵）②对于n阶矩阵A，存在n阶矩阵B，使AB=E（或BA=E），并且当A可逆时，B=A^-1。③A可以经过有限次初等变化为单位矩阵。④A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。⑤A可以只经过初等行变换化为单位矩阵E。